Un nombre triangulaire est un nombre entier non nul égal au nombre de pastilles dans un triangle Un triangle est une figure plane formée par 3 points, appelés sommets, et par trois segments, appelés côtés, qui les relient. Si les sommets sont distincts deux à deux, le triangle est constitué de trois angles (d'où son nom). Le triangle est le polygone le plus simple. Un triangle est acutangle si tous ses angles sont aigus (inférieur à 90°), il est rectangle si un des angles est égale à 90° (ou π/2) et il est obtusangle si un des angles est obtus ( supérieur à 90°). Un triangle est équilatéral si les trois longueurs ont la même longueur, il est isocèle s'il a au moins deux des cotés de même longueur sinon il est dit scalène. Lire plus équilatéral.
Un nombre triangulaire est calculé en fonction d'un nombre triangulaire auquel on ajoute le nombre de pastilles permettant de construire le triangle équilatéral Un triangle équilatéral est un triangle dont les côtés ont la même longueur ; ses trois angles ont la même mesure de 60°. Lire plus suivant. Par exemple, à partir du nombre triangulaire 15, le nombre suivant est 21, il est calculé en ajoutant le nombre de pastilles bleues nécessaires à la construction du triangle équilatéral suivant.
Une définition plus formelle de cette suite s'obtient par récurrence :
- le premier nombre triangulaire est 1,
- le nième nombre est définie par la formule suivante :
Cette formule est ancienne, elle l'œuvre de Pythagore Pythagore est un philosophe qui serait né aux environs de 580 av. J.-C. à Samos, une île du sud-est de la mer Égée ; on situe sa mort vers 495 av. J.-C., à l'âge de 85 ans. Il a introduit la notion de métempsycose dans le monde grec ; son nom est aussi lié aux mathématiques, à la philosophie des nombres ainsi qu'à la notion d'harmonie céleste. Par ailleurs, maître de sagesse charismatique, il a fondé en Italie du Sud une communauté à mi-chemin entre la politique et la philosophie, qui s'est distinguée par son mode de vie spécifique. Lire plus et elle est probablement connue depuis le début du Ve siècle avant J.-C.
En d'autres termes, le nième nombre triangulaire est égale à la somme des n premiers nombres. Par exemple, T5 = 1+2+3+4+5 = 15.
La somme de deux nombres entiers consécutifs est égal à un carré : Tn_1 + Tn = 2.Tn-1 + n = n2
L'école pythagoricienne propose une vieille méthode de calcul, elle utilisait la géométrie La géométrie est une branche des mathématiques qui étudie les figures du plan et de l'espace, également désignée géométrie euclidienne.Les figures proposées sur ce site sont construites à partir du logiciel libre GeoGebra Classic. Lire plus pour résoudre les questions arithmétiques.
De la même manière, il est possible de démontrer les propriétés suivantes :
- A partie du rang 3, T2n-1 = 3.Tn + Tn-1
- Pour tout entier strictement supérieur à 0, le carré parfait En arithmétique, un carré parfait est nombre entier qui est le carré d'un entier. Lire plus (2n + 1)2 = 8.Tn + 1
Les nombres triangulaires sont ceux de la deuxième colonne du triangle de Pascal.